113年國中數學會考 詳解

【考點】有理數的減法：減去一個負數，等於加上它的相反數。

1. 減去 $-\frac{1}{4}$ 等於加上 $\frac{1}{4}$：$\frac{3}{7}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{7}+\frac{1}{4}$。

2. 通分，分母取 $28$：$\frac{3}{7}+\frac{1}{4}=\frac{12}{28}+\frac{7}{28}=\frac{19}{28}$。

故選 (A)。

【常見錯誤】
(B) $\frac{5}{28}$ 是把「減負數」當成「減正數」，算成 $\frac{12}{28}-\frac{7}{28}$。
(C) $\frac{4}{11}$ 是分子加分子、分母加分母，分數不能這樣相加。

【考點】直三角柱的展開圖：三角形是底面、長方形是側面；兩底面平行，底面與側面垂直。

【看圖】圖（一）：三個長方形上下相連；甲是接在最上面長方形左側的三角形，乙是接在中間長方形右側的三角形，丙是最下面的長方形。

1. 直三角柱有 2 個三角形底面和 3 個長方形側面。圖（一）中甲、乙是三角形，所以甲、乙是兩個底面；丙是長方形，所以丙是側面。

2. 直柱體的兩個底面互相平行，所以甲與乙平行。

3. 直柱體的側面都和底面垂直，所以甲與丙垂直。

故選 (A)。

【常見錯誤】
(B) 甲是底面、丙是側面，直柱體的底面和側面垂直，不會平行。

【考點】二元一次聯立方程式：代入消去法。

1. 把 $y=-3x$ 代入 $5x-3y=28$：$5x-3(-3x)=28$，即 $5x+9x=28$。

2. $14x=28$，所以 $x=2$；代回 $y=-3x$，得 $y=-6$。

3. $a=2$、$b=-6$，所以 $a+b=2+(-6)=-4$。

故選 (C)。

【常見錯誤】
(D) 把 $-3\times(-3x)$ 算成 $-9x$，會得到 $-4x=28$、$x=-7$、$y=21$，$a+b=14$。負負得正要注意。

【考點】直角坐標平面上點的位置：$x$ 坐標決定左右、$y$ 坐標決定上下。

【看圖】四個選項的方格紙大小都和圖（二）相同：直的、橫的完整格線各 10 條（四邊邊緣是不足一格的窄邊，不能當成一格）。各選項的原點位置依原圖格線判讀：(A) 原點左 4 格、右 5 格、上 5 格、下 4 格；(B) 左 5、右 4、上 5、下 4；(C) 左 5、右 4、上 4、下 5；(D) 左 4、右 5、上 4、下 5。

1. 四點的 $x$ 坐標最小是 $-4$、最大是 $5$；$y$ 坐標最小是 $-5$、最大是 $4$。

2. 所以原點左邊至少要有 4 格、右邊至少 5 格；上方至少 4 格、下方至少 5 格。

3. 方格紙直的、橫的都只有 10 條完整格線。$x$ 從 $-4$ 到 $5$ 剛好要 10 條直線，$y$ 從 $-5$ 到 $4$ 剛好要 10 條橫線，所以原點的位置只有一種：左 4 格、右 5 格、上 4 格、下 5 格。

4. 逐一檢查：(A) 原點下方只有 4 格，畫不出 $(3,-5)$；(B) 右邊只有 4 格、下方只有 4 格，畫不出 $(5,3)$ 與 $(3,-5)$；(C) 右邊只有 4 格，畫不出 $(5,3)$；(D) 左 4、右 5、上 4、下 5，四點都畫得出來。

故選 (D)。

【考點】等差數列與等差級數。

【看圖】圖（三）第一層三列依序是 1、3、5 張，第二層 3、5、7 張，第三層 5、7、9 張。

1. 第一層第一列 1 張，每層第一列多 2 張，所以第 $n$ 層第一列有 $2n-1$ 張。

2. 第 $n$ 層的三列是 $2n-1$、$2n+1$、$2n+3$ 張，合計 $(2n-1)+(2n+1)+(2n+3)=6n+3$ 張。

3. 各層張數是 $9, 15, 21, \cdots$，首項 $9$、公差 $6$ 的等差數列；第 10 層有 $6\times 10+3=63$ 張。

4. 總數 $S_{10}=\frac{10\times(9+63)}{2}=360$ 張。

故選 (B)。

【考點】機率：先確定抽球當下箱內各色球的數量。

1. 白球抽出後放回，所以白球一直是 50 顆。

2. 紅球抽出後不放回，前 30 次抽走 4 顆，剩 $10-4=6$ 顆。

3. 第 31 次抽球時箱內共 $50+6=56$ 顆，抽到紅球的機率是 $\frac{6}{56}=\frac{3}{28}$。

故選 (D)。

【常見錯誤】
(B) $\frac{1}{6}=\frac{10}{60}$ 是一開始的機率，沒有扣掉已經抽走的 4 顆紅球。

【考點】線對稱圖形：沿對稱軸對摺後兩側完全重合；鏡射會把圖形翻面。

【看圖】依原圖判讀：A 是有旋轉方向的風車圖案，本身不是線對稱圖形，而且翻面後變成 B，不會是 A。圖（五）四格都是 A，方向相同；圖（六）上排兩格是 A、下排兩格是 B。

1. 對摺就是鏡射，鏡射會讓風車的旋轉方向反過來。A 鏡射後不是 A（A 上下翻轉就是和 A 不同的 B）。

2. 圖（五）：四格都是同方向的 A。大正方形可能的對稱軸只有直的中線、橫的中線和兩條對角線。直的、橫的中線會把一格 A 對摺到另一格 A 上，但 A 鏡射後不是 A；對角線會把左上、右下的 A 沿自己的對角線對摺，A 也不會和自己重合。所以圖（五）不是線對稱圖形。

3. 圖（六）：上排是 A、下排是 B，而 B 正是 A 上下翻轉的結果。以大正方形橫的中線為對稱軸，上排的 A 對摺下來恰好和下排的 B 重合，所以圖（六）是線對稱圖形。

故選 (D)。

【考點】科學記號比較大小：先比指數，指數相同再比前面的數。

1. 把 $c$ 改寫成和 $a$、$b$ 相同的指數：$c=6.3\times10^{-6}=0.63\times10^{-5}$。

2. 指數都是 $-5$，比較前面的數：$0.63<3.2<7.5$，所以 $c<a<b$。

故選 (C)。

【常見錯誤】
(B) 只看 $6.3>3.2$ 而忽略指數。$10^{-6}$ 比 $10^{-5}$ 小 10 倍，$c$ 其實最小。

【考點】長條圖判讀與比較差距。

【看圖】圖（七）長條高度約為（%）：胃癌 96、75、56、13；肝癌 76、62、22、15；大腸癌 97、93、83、29；乳癌 99、97、88、54（依原圖刻度估讀）。

1. 甲：乳癌一到四期的長條都在 50% 刻度線之上，最低的四期約 54%，所以甲正確。

2. 乙：三期與四期的差距約為：胃癌 $56-13=43$、肝癌 $22-15=7$、大腸癌 $83-29=54$、乳癌 $88-54=34$（單位：百分點）。相差最多的是大腸癌，不是胃癌，所以乙錯誤。

故選 (C)。

【考點】提出公因式。

1. 兩項都有公因式 $(5x-2)$，提出來：$5x(5x-2)-4(5x-2)^2=(5x-2)\left[5x-4(5x-2)\right]$。

2. 整理中括號：$5x-4(5x-2)=5x-20x+8=-15x+8$。

3. 所以原式 $=(5x-2)(-15x+8)$。

故選 (C)。

【常見錯誤】
(A) 把 $-4$ 當成 $+4$：$5x+4(5x-2)=25x-8$。括號前是 $-4$，乘進去要變號：$-4\times(-2)=+8$。
(B) $(5x-2)^2$ 只提出一個 $(5x-2)$，另一個 $(5x-2)$ 要留下來，不能把中括號算成 $5x-4$。

【考點】分母有理化：分子分母同乘分母的共軛 $4+\sqrt{7}$，利用平方差公式。

1. $\frac{9}{4-\sqrt{7}}=\frac{9(4+\sqrt{7})}{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}=\frac{9(4+\sqrt{7})}{16-7}=\frac{9(4+\sqrt{7})}{9}=4+\sqrt{7}$。

2. 所以 $a=4$、$b=1$，$a+b=5$。

故選 (A)。

【考點】二次函數 $y=a(x-h)^2+k$：$a>0$ 開口向上有最小值，$a<0$ 開口向下有最大值，最值 $k$ 發生在 $x=h$。

1. 甲：$y=(x+20)^2+60=\left[x-(-20)\right]^2+60$，$a=1>0$，開口向上，在 $x=-20$ 時有最小值 $60$。(A)、(B) 都說 $x=20$，錯。

2. 乙：$y=-(x-30)^2+60$，$a=-1<0$，開口向下，在 $x=30$ 時有最大值 $60$。所以 (C) 正確，(D) 錯。

故選 (C)。

【常見錯誤】
(B) 甲確實有最小值，但頂點在 $x=-20$，不是 $x=20$。$(x+20)^2$ 要寫成 $\left[x-(-20)\right]^2$ 才看得出頂點。

【考點】比與比值：比例相同才不會出現黑邊。

1. $1920:1080=16:9$（兩數同除以 $120$）。

2. (A) $1680:1050=8:5$；(B) $1600:900=16:9$；(C) $1440:900=8:5$；(D) $1280:1024=5:4$。

3. 只有 (B) 和 $16:9$ 相同。

故選 (B)。

【考點】一元一次不等式的應用；「超過」要取大於。

1. 每天開汽車排放 $0.17\times20=3.4$ 公斤，搭公車排放 $0.04\times20=0.8$ 公斤，每天少 $3.4-0.8=2.6$ 公斤。

2. 設改搭 $x$ 天，要 $2.6x>800$，$x>\frac{800}{2.6}=307.69\cdots$。

3. $x$ 是整數，最少 $308$ 天。驗算：$2.6\times307=798.2<800$，$2.6\times308=800.8>800$。

故選 (C)。

【常見錯誤】
(D) 307 天只減少 $798.2$ 公斤，還沒超過 800 公斤。

【考點】擴分與最簡分數：最簡分數的分子分母互質。

1. 甲的分子 $10\to50$，擴分 5 倍，新分母是 $5a$；乙的分子 $18\to54$，擴分 3 倍，新分母是 $3b$。分母相同，所以 $5a=3b$。

2. $5a=3b$ 是 3 的倍數，而 5 和 3 互質，所以 $a$ 是 3 的倍數。

3. $\frac{10}{a}$ 是最簡分數，$a$ 和 $10$ 互質，所以 $a$ 不是 5 的倍數。

4. 例如 $a=3$、$b=5$：$\frac{10}{3}=\frac{50}{15}$、$\frac{18}{5}=\frac{54}{15}$，符合題意。

故選 (B)。

【考點】一次函數：起始值加上每年變化量乘以年數。

1. 每十年上升 $0.08$℃，且每年上升相同，所以每年上升 $0.08\div10=0.008$℃。

2. 從 2020 年的 $14.88$℃ 開始，經過 $x$ 年上升 $0.008x$℃，所以是 $14.88+0.008x$。

故選 (B)。

【常見錯誤】
(A) 把「每十年 0.08℃」當成每年 0.08℃。
(D) 14.88℃ 已經是 2020 年的溫度，1880 到 2020 年的上升已經算在裡面，不能再加一次。

【考點】三角形中大角對大邊；點到圓心的距離和半徑比較，決定點在圓內或圓外。

1. $\angle A=180^{\circ}-55^{\circ}-65^{\circ}=60^{\circ}$。

2. 大角對大邊：$\angle C(65^{\circ})>\angle A(60^{\circ})>\angle B(55^{\circ})$，所以 $\overline{AB}>\overline{BC}>\overline{AC}$。

3. 圓 $B$ 的半徑是 $\overline{BC}$，$A$ 到 $B$ 的距離 $\overline{AB}>\overline{BC}$，所以 $A$ 在圓 $B$ 外部。

4. 圓 $C$ 的半徑是 $\overline{BC}$，$A$ 到 $C$ 的距離 $\overline{AC}<\overline{BC}$，所以 $A$ 在圓 $C$ 內部。

故選 (A)。

【考點】全等圖形的對應邊、對應角相等；等角對等邊。

【看圖】圖（十）：$B$、$F$、$C$、$G$ 由左到右在同一直線上，$E$ 在 $\overline{DC}$ 上，四邊形 $ECGH$ 是灰色區域。

1. 依對應頂點：$\overline{HE}=\overline{AB}=7$，$\overline{EF}=\overline{BC}=\overline{AD}=5$，$\overline{FG}=\overline{CD}=7$，$\overline{GH}=\overline{DA}=5$。

2. $C$ 在 $\overline{FG}$ 上，所以 $\overline{CG}=\overline{FG}-\overline{FC}=7-3=4$。

3. 求 $\overline{EC}$：$F$ 對應 $C$，所以 $\angle EFG=\angle BCD$。又 $C$ 在 $\overline{FG}$ 上、$E$ 在 $\overline{CD}$ 上、$F$ 在 $\overline{BC}$ 上，所以 $\angle EFC=\angle EFG$、$\angle ECF=\angle DCB$，得 $\angle EFC=\angle ECF$。

4. $\triangle EFC$ 兩底角相等，是等腰三角形，$\overline{EC}=\overline{EF}=5$。

5. 周長 $=\overline{EC}+\overline{CG}+\overline{GH}+\overline{HE}=5+4+5+7=21$。

故選 (A)。

【考點】倒數的正負與大小。

1. $P$ 在 $A$ 左側，所以 $p<-2$。

2. $q=\frac{1}{p}$：$p$ 是負數，$q$ 也是負數；$p$ 的絕對值大於 2，$q$ 的絕對值小於 $\frac{1}{2}$。所以 $-\frac{1}{2}<q<0$，$Q$ 在 $\overline{AO}$ 上。

3. $\overline{QO}=0-q<\frac{1}{2}$，$\overline{AQ}=q-(-2)=q+2>\frac{3}{2}$，所以 $\overline{AQ}>\overline{QO}$。

4. 例如 $p=-4$，$q=-\frac{1}{4}$：$\overline{AQ}=\frac{7}{4}$、$\overline{QO}=\frac{1}{4}$。

故選 (B)。

【考點】四邊形內角和 $360^{\circ}$；平角 $180^{\circ}$。

【看圖】依圖（十二）判讀：$\angle1$ 在 $E$ 點、$\overline{GE}$ 右側（即 $\angle GEF$）；$\angle2$ 在 $F$ 點、$\overline{GF}$ 左側（即 $\angle GFE$）；$\angle3$ 在 $G$ 點、$\overline{GE}$ 左側（即 $\angle AGE$）；$\angle4$ 在 $G$ 點、$\overline{GF}$ 右側（即 $\angle DGF$）。

1. 看四邊形 $ABEG$：$\angle BEG=180^{\circ}-\angle1$。內角和 $100^{\circ}+85^{\circ}+(180^{\circ}-\angle1)+\angle3=360^{\circ}$，整理得 $\angle1=\angle3+5^{\circ}$。

2. 看四邊形 $GFCD$：$\angle GFC=180^{\circ}-\angle2$。內角和 $105^{\circ}+70^{\circ}+(180^{\circ}-\angle2)+\angle4=360^{\circ}$，整理得 $\angle4=\angle2+5^{\circ}$。

3. $\angle1+\angle2=\angle3+5^{\circ}+\angle2$，$\angle3+\angle4=\angle3+\angle2+5^{\circ}$，兩者相等，所以 (A)、(B) 都錯。

4. $\angle1+\angle4=(\angle3+5^{\circ})+(\angle2+5^{\circ})=\angle2+\angle3+10^{\circ}>\angle2+\angle3$，所以 (D) 正確。

故選 (D)。

【考點】圓心角的度數等於所對弧的度數；圓周角是所對弧度數的一半。

1. $B$ 是 $\overline{AC}$ 的中點，也就是半圓 $\overparen{AC}$ 的圓心。$\overparen{CE}=58^{\circ}$，所以圓心角 $\angle CBE=58^{\circ}$。

2. 看半圓 $\overparen{BD}$ 所在的圓：$B$、$E$、$D$ 都在這個圓上，且 $C$ 在 $\overline{BD}$ 上，所以 $\angle EBD=\angle CBE=58^{\circ}$。$\angle EBD$ 是圓周角，所對的 $\overparen{ED}=2\times58^{\circ}=116^{\circ}$。

3. $\overparen{BD}$ 是半圓，$180^{\circ}$，所以 $\overparen{BE}=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$。

故選 (D)。

【常見錯誤】
(A) $58^{\circ}$ 是另一個圓（半圓 $\overparen{AC}$）上的弧。兩個半圓不一樣大，弧的度數不能直接搬過去。

【考點】重心把三角形分成三個面積相等的三角形；同底等高的三角形面積相等，反過來可推平行。

1. $\triangle ABC$ 面積 $=5+4+3=12$。$G$ 是重心，所以 $\triangle GAB=\triangle GBC=\triangle GCA=12\div3=4$。

2. $\triangle GBC=4=\triangle DBC$。兩個三角形同底 $\overline{BC}$、面積相等，所以 $G$、$D$ 到 $\overline{BC}$ 的距離相等；兩點都在 $\triangle ABC$ 內部（$\overline{BC}$ 的同側），所以 $\overline{DG}//\overline{BC}$。（$\triangle DAB=5\neq4$，$D$ 不是 $G$。）

3. $\triangle DCA=3\neq4=\triangle GCA$，所以 (C)、(D) 錯。

故選 (A)。

【考點】平行四邊形、摺紙前後圖形全等、等角對等邊、相似三角形。

【看圖】圖（十六）中的 $C$ 是摺過去後落在 $\overline{AB}$ 上的點，下面記作 $C'$，以免和原來的 $C$ 混淆。

1. $\overline{AD}//\overline{BE}$ 且 $\overline{DE}//\overline{AB}$，$ABED$ 是平行四邊形，$\overline{AB}=\overline{DE}=4$；等腰梯形 $\overline{DC}=\overline{AB}=4$。

2. $\triangle DEC$ 中 $\overline{DE}=\overline{DC}=4$，所以 $\angle DEC=\angle C=\angle B$。

3. 摺紙前後全等：$\triangle DEC'\cong\triangle DEC$，所以 $\overline{EC'}=\overline{EC}=2$，$\angle DEC'=\angle DEC=\angle B$。

4. $\overline{DE}//\overline{AB}$，內錯角 $\angle BC'E=\angle DEC'=\angle B$。$\triangle EBC'$ 兩底角相等，$\overline{EB}=\overline{EC'}=2$。

5. $\triangle EBC'$ 與 $\triangle DEC$ 都是底角等於 $\angle B$ 的等腰三角形，兩者相似（AA）。腰長比 $\overline{EB}:\overline{DE}=2:4=1:2$，所以底邊 $\overline{BC'}=\frac{1}{2}\overline{EC}=1$。

6. $\overline{AC'}=\overline{AB}-\overline{BC'}=4-1=3$，所以 $\overline{BC'}:\overline{AC'}=1:3$。

故選 (B)。

【考點】把文字敘述寫成等式、不等式，再代換。

1. 設每日應攝取的穀類、蛋白質、蔬菜、水果份量分別為 $g$、$p$、$v$、$f$。健康標語：① $v>f$；② $v=g$；③ $v+f=\frac{1}{2}(g+p+v+f)$。

2. 由③：$2(v+f)=g+p+v+f$，整理得 $v+f=g+p$。

3. 由② $v=g$ 代入：$g+f=g+p$，所以 $f=p$。

4. 結論：水果和蛋白質的份量一樣多。

【評分重點】
- 正確推導出「水果＝蛋白質」（官方評分指引中第一小題的要求）。
- 要寫出推導：由標語③得「蔬菜＋水果＝穀類＋蛋白質」，再用標語②代換。只寫結論不算完整。

【考點】面積比代表份量比；列出方程式與不等式，再用整數性質判斷。

【看圖】圖（十九）：矩形長 16 公分、寬 10 公分。由左到右是「水果」（寬 $a$、高 10）、「蔬菜」（高 10），右邊剩下的部分上下分成「蛋白質」（高 $b$）和「穀類」。

1. 第 (1) 小題已得：水果和蛋白質一樣多；標語另外要求蔬菜和穀類一樣多、蔬菜比水果多、蔬菜和水果合計占一半。

2. 總面積 $16\times10=160$。蔬菜＋水果占一半，是 $80$ 平方公分；兩塊高都是 10，所以兩塊合起來寬 $8$ 公分。水果面積 $10a$，蔬菜寬 $8-a$、面積 $10(8-a)$。

3. 右邊蛋白質和穀類的寬是 $16-8=8$ 公分，蛋白質面積 $8b$，穀類面積 $8(10-b)$。

4. 水果＝蛋白質：$10a=8b$，即 $5a=4b$，$a:b=4:5$。（蔬菜＝穀類：$10(8-a)=8(10-b)$，整理後也是 $10a=8b$，條件一致。）

5. 蔬菜比水果多：$10(8-a)>10a$，得 $a<4$（對應 $b<5$）。

6. 若 $a$、$b$ 都是正整數，$5a=4b$ 是 4 的倍數，而 5 和 4 互質，$a$ 必須是 4 的倍數，最小是 4，和 $a<4$ 矛盾。也可以逐一檢查：$a=1,2,3$ 時 $b=\frac{5}{4},\frac{5}{2},\frac{15}{4}$，都不是整數。

7. 結論：$a$、$b$ 不可能同時為正整數。

【評分重點】
- 列出面積關係並推導出 $10a=8b$（或 $5a=4b$）。
- 由「蔬菜比水果多」得出 $a<4$（或 $b<5$）的範圍。
- 用 $a:b=4:5$ 推論，或列舉範圍內的整數 $a$（或 $b$）逐一檢驗，說明 $a$、$b$ 不能同時為正整數。
- 官方評分指引（三級分）要求：第一小題得出「水果＝蛋白質」，第二小題推導出 $10a=8b$，並得出 $a<4$（或 $b<5$）與正確比例關係後推論或列舉檢驗；只得出比例、沒有完整檢驗，或沒說明列舉範圍的理由，屬二級分。

【考點】扇形環的邊長：直邊長＝外半徑－內半徑。

1. 每張桌子是同心圓環的四分之一：4 張全等的桌子拼成完整圓環，接縫延長線都通過圓心，所以每張桌子的圓心角是 $360^{\circ}\div4=90^{\circ}$；兩條直邊都在半徑上，長 $80-20=60$ 公分。

2. 接縫 $\overline{EF}$ 是一張桌子的直邊，$\overline{EF}=60$ 公分。

3. $G$ 是 $\overline{EF}$ 的中點，$\overline{GF}=60\div2=30$ 公分。

【評分重點】
- 說明直邊長是 $80-20=60$ 公分，再由中點得 $\overline{GF}=30$。

【考點】直角三角形中斜邊大於股（或畢氏定理）；全等圖形的對應邊相等。

【看圖】依原圖判讀：圖（二十一）兩張桌子拼成半個圓環，$A$、$B$ 是外圓直徑的兩端。圖（二十二）兩張桌子沿直邊 $\overline{EF}$ 貼合但方向相反：左邊桌子的內凹小圓弧在 $F$ 旁（$F$ 是它的內側桌角、$E$ 是外側桌角），右邊桌子的內凹小圓弧在 $E$ 旁；$C$ 是左邊桌子另一條直邊的外側桌角，$D$ 是右邊桌子另一條直邊的外側桌角。

1. 每張桌子是同心圓環的四分之一：4 張全等的桌子拼成完整圓環，接縫延長線都通過圓心，所以每張桌子的圓心角是 $360^{\circ}\div4=90^{\circ}$；兩條直邊都在半徑上，長 $80-20=60$ 公分。

2. 圖（二十一）：兩張桌子拼成半個圓環，$A$、$B$ 是外圓直徑的兩端，$\overline{AB}=2\times80=160$ 公分。

3. 圖（二十二）左邊桌子：設它的圓心為 $O$。$O$ 在直線 $EF$ 上、$F$ 的外側，$\overline{OF}=20$、$\overline{OE}=80$。由第 (1) 小題，$\overline{OG}=\overline{OF}+\overline{FG}=20+30=50$ 公分。

4. $C$ 在這張桌子的另一條直邊上，$\overline{OC}=80$，兩條直邊夾 $90^{\circ}$，所以 $\angle COG=90^{\circ}$。

5. 直角三角形 $COG$ 中：$\overline{CG}=\sqrt{80^2+50^2}=\sqrt{8900}=10\sqrt{89}$ 公分。斜邊大於股，所以 $\overline{CG}>\overline{OC}=80$。

6. 右邊桌子同理：它的內凹小圓弧在 $E$ 旁，設它的圓心為 $O'$，$O'$ 在直線 $EF$ 上、$E$ 的外側，$\overline{O'E}=20$，$\overline{O'G}=20+30=50$；又 $\overline{O'D}=80$、$\angle DO'G=90^{\circ}$，所以 $\overline{GD}=\sqrt{80^2+50^2}=10\sqrt{89}>80$。

7. 題目說 $\overline{CD}$ 與 $\overline{EF}$ 交於 $G$，所以 $C$、$G$、$D$ 在同一直線上，$\overline{CD}=\overline{CG}+\overline{GD}=20\sqrt{89}$，約 $188.7$ 公分，大於 $\overline{AB}=160$ 公分。

8. 結論：$\overline{CD}$ 比 $\overline{AB}$ 長。

【評分重點】
- 說明 $\overline{AB}=160$ 公分（外圓直徑）。
- 在圖（二十二）作輔助線（連圓心 $O$ 與 $C$、$G$），用全等的對應邊說明 $\overline{OC}=80$、$\overline{OG}=50$、$\angle COG=90^{\circ}$。
- 用畢氏定理或「斜邊大於股」比較，得 $\overline{CG}>80$，同理 $\overline{GD}>80$，所以 $\overline{CD}>\overline{AB}$。
- 官方評分指引（三級分）要求：第一小題得 $\overline{GF}=30$；第二小題作輔助線、用全等或平行線性質推出線段相等關係，再用畢氏定理或直角三角形邊角關係比較，正確判斷 $\overline{CD}>\overline{AB}$。也接受用旋轉、翻轉把兩圖疊合，再用「三角形兩邊之和大於第三邊」判斷。